Формула для мп прямого провода с током

Выберем произвольную точку на расстоянии r от проводника (см. рис.) и бесконечно малый элемент проводника dl с током I, находящийся на расстоянии r от нее. Вектор магнитной индукции поля от этого элемента dB направлен перпендикулярно чертежу (на нас). Векторы магнитной индукции от остальных элементов проводника направлены также, поэтому интегрирование будет производиться в скалярной форме.

dB – магнитная индукция от элемента dl с током I

индукция от всего проводника по принципу суперпозиции ; чтобы проинтегрировать, надо свести к одной переменной, пока их две – r и l

длина дуги АС при малых углах, она же из треугольника (А, С, dl); теперь появилась третья переменная ; сведем к переменной .

магнитная индукция поля прямого тока конечной длины

(Магнитное поле тока в подводящих проводах не учитываем).

2)Магнитное поле прямого бесконечно длинного проводника.

В случае бесконечно длинного проводника 1  0, 2 180 о (cos180 o = 1), получим:

магнитная индукция поля

бесконечного прямого проводника

3)Магнитное поле на оси кругового тока.

На рисунке показаны линии магнитной индукции поля кругового тока (половина поля). Это сложное трехмерное поле, аналитической формулы для которого не существует. Мы получим выражение для магнитной индукции только на оси кольца.

Выделим на кольце с током два элемента dl1 и dl2 , расположенных диаметрально противоположно (см. рис. ниже). Магнитные индукции от этих элементов dB1 и dB2 . Если разложить эти векторы на составляющие вдоль оси х и в перпендикулярном к ней направлении, то перпендикулярные составляющие взаимно компенсируются, а составляющие по оси х будут складываться. К этому же мы придем, рассматривая подобные элементы по всему кольцу. Таким образом, магнитная индукция на оси кольца направлена вдоль оси кольца (по правилу буравчика).

составляющая магнитной индукции по оси х

угол для данной точки на расстоянии х по оси кольца постоянная величина

4) Магнитное поле в центре кругового тока

Это частный случай предыдущего примера, когда х = 0

Магнитная индукция в центре кругового тока

Магнитный момент контура с током.

Контур с током (виток с током) при изучении магнитных свойств вещества имеет такое же значение, как диполь при изучении электрических свойств вещества. Рассматривая поведение витка с током во внешнем магнитном поле, можно качественно объяснить намагниченность различных веществ. Контур с током характеризуют векторной величиной рмагн  магнитным моментом.

магнитный момент контура с током

I — сила тока в контуре, S – площадь, охватываемая контуром, n— нормаль к площади контура

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Так же, как теорема Гаусса в электростатике облегчает вычисление напряженности электростатического поля в некоторых случаях, также теорема о циркуляции 4 вектора магнитной индукции дает возможность легко получить формулы для магнитной индукции в некоторых простейших случаях.

Читайте также:  Оптоволоконный кабель 8 волокон

= ()

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции: «Циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на o».

= ()

Выражение () применяется в случаях дискретного распределения проводников с токами, т.е. когда имеются отдельные проводники с токами и требуется найти индукцию В поля вне проводников. Выражение () используется в случаях, когда требуется найти индукцию В магнитного поля внутри проводника с током, т.е. при непрерывном распределении тока по проводнику.

Рассмотрим некоторые примеры применения теоремы о циркуляции В.

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции :

Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

Индукцию проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций создаваемых отдельными участками проводника. На опыте невозможно выделить отдельный участок проводника с током, так как постоянные токи всегда замкнуты. Можно измерить только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Закон Био–Савара определяет вклад в магнитную индукцию результирующего магнитного поля, создаваемый малым участком Δ проводника с током .

Здесь – расстояние от данного участка Δ до точки наблюдения, α – угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ – магнитная постоянная. Направление вектора определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока. Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон Био–Савара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

которая уже приводилась в § 1.16.

Рисунок 1.17.1.

Закон Био–Савара позволяет рассчитывать магнитные поля токов различных конфигураций. Нетрудно, например, выполнить расчет магнитного поля в центре кругового витка с током. Этот расчет приводит к формуле

где – радиус кругового проводника. Для определения направления вектора также можно использовать правило буравчика, только теперь его рукоятку нужно вращать в направлении кругового тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

Расчеты магнитного поля часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае можно пользаоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции , которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике.

Поясним понятие циркуляции вектора Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δ этого контура можно определить касательную составляющую вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2).

Читайте также:  Самое простое печенье на сковороде
Рисунок 1.17.2.

Циркуляцией вектора называют сумму произведений Δ, взятую по всему контуру :

Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура.

Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора магнитного поля постоянных токов по любому контуру всегда равна произведению магнитной постоянной μ на сумму всех токов, пронизывающих контур:

В качестве примера на рис. 1.17.2 изображены несколько проводников с токами, создающими магнитное поле. Токи 2 и 3 пронизывают контур в противоположных направлениях, им должны быть приписаны разные знаки – положительными считаются токи, которые связаны с выбранным направлением обхода контура правилом правого винта (буравчика). Следовательно, , а . Ток 1 не пронизывает контур .

Теорема о циркуляции в данном примере выражается соотношением:

Теорема о циркуляции в общем виде следует из закона Био–Савара и принципа суперпозиции.

Простейшим примером применения теоремы о циркуляции является вывод формулы для магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током. Учитывая симметрию в данной задаче, контур целесообразно выбрать в виде окружности некоторого радиуса , лежащей в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности находится в некоторой точке проводника. В силу симметрии вектор направлен по касательной , а его модуль одинаков во всех точках окружности. Применение теоремы о циркуляции приводит к соотношению:

откуда следует формула для модуля магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током, приведенная ранее.

Этот пример показывает, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции может быть использована для расчета магнитных полей, создаваемых симметричным распределением токов, когда из соображений симметрии можно «угадать» общую структуру поля.

Имеется немало практически важных примеров расчета магнитных полей с помощью теоремы о циркуляции. Одним из таких примеров является задача вычисления поля тороидальной катушки (рис. 1.17.3).

Рисунок 1.17.3.

Предполагается, что катушка плотно, то есть виток к витку, намотана на немагнитный тороидальный сердечник. В такой катушке линии магнитной индукции замыкаются внутри катушки и представляют собой концентрические окружности. Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. Одна из линий индукции некоторого радиуса изображена на рис. 1.17.3. Применим теорему о циркуляции к контуру в виде окружности, совпадающей с изображенной на рис. 1.17.3 линией индукции магнитного поля. Из соображений симметрии ясно, что модуль вектора одинаков вдоль всей этой линии. По теореме о циркуляции можно записать:

∙ 2π = μ,

где – полное число витков, а – ток, текущий по виткам катушки. Следовательно,

Читайте также:  Как подготовить абрикос к зиме на урале

Таким образом, модуль вектора магнитной индукции в тороидальной катушке зависит от радиуса . Если сердечник катушки тонкий, то есть , то магнитное поле внутри катушки практически однородно. Величина = представляет собой число витков на единицу длины катушки. В этом случае

.

В это выражение не входит радиус тора, поэтому оно справедливо и в предельном случае . Но в пределе каждую часть тороидальной катушки можно рассматривать как длинную прямолинейную катушку. Такие катушки называют соленоидами . Вдали от торцов соленоида модуль магнитной индукции выражается тем же соотношением, что и в случае тороидальной катушки.

На рис. 1.17.4 изображено магнитное поле катушки конечной длины. Следует обратить внимание на то, что в центральной части катушки магнитное поле практически однородно и значительно сильнее, чем вне катушки. На это указывает густота линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле целиком сосредоточено внутри него.

Рисунок 1.17.4.

В случае бесконечно длинного соленоида выражение для модуля магнитной индукции можно получить непосредственно с помощью теоремы о циркуляции, применив ее к прямоугольному контуру, показанному на рис. 1.17.5.

Рисунок 1.17.5.

Вектор магнитной индукции имеет отличную от нуля проекцию на направление обхода контура только на стороне . Следовательно, циркуляция вектора по контуру равна , где – длина стороны . Число витков соленоида, пронизывающих контур , равно , где – число витков на единицу длины соленоида, а полный ток, пронизывающий контур, равен . Согласно теореме о циркуляции,

= μ,

откуда

= μ .

Это выражение совпадает с полученной ранее формулой для магнитного поля тонкой тороидальной катушки.

Пусть ток направлен вдоль оси z цилиндрической системы координат. Определим векторный магнитный потенциал внутри и снаружи провода. Из уравнения (3.4) следует: V 2 A=-pj. В цилиндрической системе координат вектор А имеет только z-составляющую.

1. Внутри провода радиусом а, т.е. при г а

Для определения постоянных интегрирования используем следующие условия. Поскольку 1п0 не имеет смысла, при г = О Q = 0.

Индукция В и векторный магнитный потенциал А на границе непрерывны, поэтому приравняем их значения внутри и вне провода, т.е.

Таким образом, внутри провода

Для магнитного поля снаружи провода можно определить скалярный магнитный потенциал, полагая Нсн =-grad

Решение. Магнитное напряжение между точками М и N по пути MLN, обусловленное током левого провода (рис. 3.7):

Поскольку tg у = 0,5 и у = 26,5°, a = 45°-26,5° = 18,5°.

Магнитное напряжение между точками М и N

Пример 3.2. Определите индуктивность двухпроводной линии, выполненной из цилиндрических проводников радиусом а и расположенных на расстоянии d друг от друга (рис. 3.7).

Решение. Индуктивность линии I = 2 (LBH +LCH).

Для определения индуктивности проводника определим ток через сечение радиусом г:

и по закону полного тока напряженность магнитного поля

и индуктивность проводника LBH =- LEiL =—.

Определим потокосцепление между проводниками:

Таким образом, индуктивность двухпроводной линии

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock detector